求助:可靠性试验设计时的样品寿命分布模型的选择

xxex

假设我已经有了一些市场应用的数据，因此通过寿命数据分析可以得到样品的寿命分布模型，假设我分析得到的样品寿命分布是Generalized Gamma分布，这个时候我若要设计一个可靠性验证试验，确保样品通过试验后，首年的可靠性能达到一个指定的水平，很多软件只能提供weibul，指数，正态，对数正态，logistics，对数logistics，最小极值，最大极值，Frechet这些常用分布的试验设计。我数据分析得到的Generalized Gamma分布不在其中，这个时候我应该选择什么样的分布进行试验设计？设计时的参数如何确定？

hlperng

大哉問，那要看解決問題及判斷決策是從工程的觀點，還是從數學的觀點。從工程與應用的觀點，這是業界所需要的，數學永遠只是工具，再完美的數學也不能解決現實的工程問題。況且樣本還是樣本，解決問題的目標在於群體的代表性。

通用伽瑪分布有三個參數：一個尺度參數 λ 或 η、兩個形狀 β 及 κ，通用伽瑪分布的機率密度函數可以寫為：



或



其中 Γ(κ)為伽瑪函數：

。

所有 T ≥ 0 （或 X ≥0）的隨機變數，最常見的就是失效發生時間或壽命，普通機率分布理論數學模型，例如指數分布、伽瑪分布、卡方分布、瑞雷分布、馬克斯威爾分布、對數常態分布等，都是通用伽瑪分布的特例，

分布	λ	κ	β
通用伽瑪分布	λ	κ	β
伽瑪分布	λ	κ	1
韋伯分布	λ	1	β
指數分布	λ	1	1
卡方分布	1/2	r/2	1
瑞雷分布	1/(η √(2))	1	2
馬克斯威爾分布	1/(η √(2))	3/2	2

請參閱：
http://redi.org.tw/forum.php?mod=viewthread&tid=629&page=1&extra=#pid1585

有關通用伽瑪分布在可靠度的應用，可參閱 Reliasoft 公司的可靠度維基網站 (reliawiki.org)，對於通用伽瑪分布的特質有詳細的數學推導，並提供通用伽瑪分布分析壽命試驗資料的應用案例，回歸分析所得到的參數推論值，利用該公司發行的可靠度分析套件 Weibull⁺⁺ 7 (?) 的對數常態機率圖模組，討論說明分析結果的處理方式，判斷該壽命試驗結果比較符合韋伯分布或對數常態分布，分析結果得到的參數分別為 ε = 0.2980、σ = 0.5221、μ = 4.2258，或者 λ = 1.01653、η = 0.98374、β =0.57077、κ = 10.58329，κ 接近 0、而 κ 遠大於 1，當然就資料而言，對數常態分布的假設 (ε = 0.2980 ∼ 0) 是比韋伯分布 (κ = 10.58 >> 1) 的假設要好很多。該組資料的平均值為 73.52522、標準差為 37.27531。若以兩參數機率分布，利用 Weibull⁺⁺6 圖解分析，得到對數常態分布的參數為 μ_y=4.1468、σ_y=0.5667，韋伯分布的參數為 η=81.1026、β=2.2007，請參閱：
http://reliawiki.org/index.php/The_Generalized_Gamma_Distribution


有一個議題值得思考，三參數的通用伽瑪分布，經過數學轉換可以簡化收斂其數學模型複雜度，變成大家熟悉常用的機率分布，大致可歸納為下述四種情形： (1) 伽瑪分布是 κ 個指數分布獨立總和的機率分布，(2) 韋伯分布是由許多元件所構成系統（以零為界限）的極小值分布，(3) 對數常態是多項影響因素為乘積關係的壽命分布，(4) 常態分布構成分量的平方和的開根值，例如一度空間、二度空間、三度空間的偏心距（半徑）。許多單變數機率分布彼此有關聯，各種常用單變數機率分布之間的關係，請參閱：

http://redi.org.tw/forum.php?mod=viewthread&tid=41&extra=page%3D1


可靠度評估的主要目的在於透過資料統計分析，獲得有用的可靠度推論及機率分布參數的推論值，提供現有產品的改進及未來產品創新的依據或參考。可靠度議題討論壽命的機率分布時，應瞭解資料的特性，一般多以極值分布為進階研究的方向，根據甘伯近似分布，極值分為極大值與極小值兩種，極值分布有三型：第一型極值分布，其原始分布的尾端呈指數 (exp) 快速遞減者屬之，此類極值分布尾端一般較單薄（機率相對較小），亦即收斂較快，因此又稱為輕尾分布，例如常態分布、指數分布，代表分析一般稱為極值分布(extreme value distribution)或甘伯分布 (Gumble distribution)，嚴謹而言，它是一型極大值分布；第二型極值分布，其原始分布的尾端成多項式或幂次方遞減，此類極值分布尾端一般較厚重（機率相對較大），亦即收斂較慢，因此又稱為重尾分布，代表性的分布為 Frechet 分布；第三型為尾端有界限（例如 X ≥ 0）的極值分布，代表性的分布為第三型極小值分布，也就是有名的韋伯分布 (Weibull distribution)。資料統計回歸分析過程中相關係數或類似資訊，那是數學模型誤差多寡的指標，只是作為決策判斷的依據之一，對於試驗資料的分析與應用，工程判斷往往優於統計判斷，這就是為什麼美國商務部 (DOC) 國家標準與技術研究院 (NIST) 資訊技術實驗室 (information technology laboratory, ITL) 的統計工程組 (statistical engineering division, SED) 積極推動探索式資料分析 (exploratory data analysis, EDA) 技法及長期經營發展「工程統計手冊」(engineering statistical handbook) 線上電子書的主因，其中第 8 章就是討論工程統計技法在可靠度的應用。工程統計手冊網址為：

http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/

liaojenyi

請提供Generalized Gamma分布實例，可以試試看如何解決！

xxex

hlperng 發表於 2015-4-9 17:54
大哉問，那要看解決問題及判斷決策是從工程的觀點，還是從數學的觀點。從工程與應用的觀點，這是業界所需要 ...

谢谢大师指点

xxex

liaojenyi 發表於 2015-4-9 18:53
請提供Generalized Gamma分布實例，可以試試看如何解決！

廖博，您好！我通过数据拟合回归分析已经确定Generalized Gamma (GenGamma)的拟合优度最好，这里分布模型的形式如下：


模型参数估计如下：

参数	估计	标准误差	下限 95%	上限 95%
mu	11.40948	1.297308	8.8668	13.95215
sigma	20.74267	2.300275	16.23421	25.25113
lambda	-10.9419	3.241094	-17.2943	-4.58946

根据模型，用Wald和极大似然估计法对12个月，18个月，24个月，120个月的累积失效概率和生存概率估计如下：

起始时间	失效概率	失效概率 95% 下限 (Wald)	失效概率 95% 上限 (Wald)	失效概率 95% 下限（似然）	失效概率 95% 上限（似然）	生存概率	生存概率 95% 下限 (Wald)	生存概率 95% 上限 (Wald)	生存概率 95% 下限（似然）	生存概率 95% 上限（似然）
12	0.002096	8.55E-08	0.015694	0.001943	0.002258	0.997904	0.984306	1	0.997742	0.998057
18	0.002876	8.78E-07	0.016971	0.002615	0.003169	0.997124	0.983029	0.999999	0.996831	0.997385
24	0.003511	3.39E-06	0.017887	0.003131	0.003966	0.996489	0.982113	0.999997	0.996034	0.996869
120	0.008125	0.000351	0.023119	0.006426	0.010948	0.991875	0.976881	0.999649	0.989052	0.993574

假定我要验证12个月时的生存概率大于0.997904，样本数量分别为10，20，30，允许失效0，置信水平95。如何利用上面的分布模型设计试验？

liaojenyi

1. 假如試驗也是做12個月，則不用考慮分布！
2. 要求12个月时的生存概率大于0.997904，允许失效0，置信水平95條件下，共需1428個試件！你的樣本數還差的遠！
3. 如果有加速因子，就需考慮分布

xxex

liaojenyi 發表於 2015-4-10 18:57
1. 假如試驗也是做12個月，則不用考慮分布！
2. 要求12个月时的生存概率大于0.997904，允许失效0，置信水平 ...

    谢谢廖博！
      我在进行试验设计时是有加速因子的，我的思路是先设计不同样本量例如：50，100或150台，0失效数，特定时间，例如12个月，特定可靠度，例如0.997904，无加速的试验方案。得到对应的试验时间后，再根据试验加速应力和现场应用条件，根据加速模型计算得到加速因子。最后用试验时间除以加速因子得到最后 加速后的试验时间。
      例如本案例的数据，我的CL取0.9，分布选择次优的Fréchet分布，分布的尺度参数计算结果为：5.966188，允许失效0pcs，时间取12个月，0.997904的可靠度，样品数选择50，100或150台，分别计算得到703.61，215.00和117.75个月的无加速试验时间。根据试验条件和现场应用条件的温度加速模型得到55.94倍的加速因子，最终计算得到加速试验时间为：11.82个月，3.61个月和1.978个月。
     
      这种计算方式不知道是否有错。

liaojenyi

CL取0.9，Fréchet分布，分布的尺度参数为：5.966188（沒有形狀參數？2.253？），允许失效0pcs，0.997904的可靠度
1.时间取12个月，樣本為1098
2.請核對 0.997904^1098=R(703.6)^50 = R(215)^100 =R(117.75)^150?
3. 如果以上OK、加速模式也沒問題，應該計算就OK了！

xxex

liaojenyi 發表於 2015-4-13 21:59
CL取0.9，Fréchet分布，分布的尺度参数为：5.966188（沒有形狀參數？2.253？），允许失效0pcs，0.997904的 ...

廖博，您好
这里我设计试验假设的寿命分布模型为Fréchet

数据拟合得到的模型参数如下：

参数	估计
位置	13.30817
尺度	5.966188

之所以采用这个分布是因为拟合优度排名靠前的其它分布都没有现成的试验设计工具，而试验设计工具软件里面只支持这个分布，并且软件里面不需要使用位置参数设计试验。

xxex

hlperng 發表於 2015-4-9 17:54
大哉問，那要看解決問題及判斷決策是從工程的觀點，還是從數學的觀點。從工程與應用的觀點，這是業界所需要 ...

太详细了，自己找资料不知道要翻多少