壽命或失效時間分布的表示法 - 睿地可靠度論壇（TW-REDI Forum）

指數分布與伽瑪分布屬於計時或打點型 (pointing) 過程隨機變數的波桑 (Poisson) 家族機率分布，均值波桑隨機過程 (Homogeneous Poisson Process, HPP)。波桑家族機率分布，包括指數分布、歐郎分布 (Erlang)、伽瑪分布、波桑分布等，此一家族討論在選定時間內有興趣的對象事件（例如失效）會發生幾次，當事件發生強度會隨時間變化時，則延伸到韋伯分布或非均質波桑過程 (Non-homogeneous Poisson Process, NHPP）。

每一種機率分布各有其用途與目的，早期美國國防部的電子設備可靠度諮詢小組 (Advisory Group on Reliability of Electronic Equipment, AGREE) 在處理電子產品可靠度問題時，以被動零件為主，假設壽命或失效時間為常態分布，後來轉向討論系統設備產品，多以指數分布為主說明失效時間，壽命或可靠度試驗數據分析時，涉及抽樣統計分析，使用伽瑪分布(或是實際計算時常用的卡方分布)，半導體產業初期構造較簡單假設積體電路的壽命為對數常態分布，發展至更複雜的微電路與積體電路時，漸漸使用韋伯分布，而機械業者一直都認為壽命或失效時間可以用韋伯分布表示。

從工程觀點，壽命或失效發生時間都是大於等於零的變數，常態分布的領域由負無窮大到正無窮大，在應用上難免有罣礙，因此對數常態、韋伯及指數三種變數領域為大於等於零的機率分布最符合工程原則。標準常態分布與伽瑪分布，則是當推論機率分布參數（例如：失效率 λ）時所需使用到的抽樣分布。

四個常用的壽命或失效時間分布中，從數學之間的關係，加上由物理科學（零件）、工程技術（組裝）、工程管理（系統設備產品）、驗證確認（管理運維）的系統工程及生命週期觀點，依次為對數常態分布、韋伯分布、指數分布、伽瑪分布。這四個機率分布之間關係的知識地圖說明如下表。

	對數常態分布 lognormal distribution	韋伯分布 Weibull distribution	指數分布 exponential distribution	伽瑪分布 gamma distribution
機率密度函數	見公式 (1)	見公式 (2)	$f(t)={\lambda}exp(-\lambda t)$	見公式 (3)
參數	μ：尺度參數 σ：形狀參數	η：尺度參數 β：形狀參數	λ：尺度參數	λ：尺度參數 κ：形狀參數
失效率函數	(複雜公式)	$h(t) = \frac {\beta} {\eta} (\frac {t} {\eta})^{\beta - 1}$	$h(t) = \lambda$	$h(t) = \frac {\lambda (\lambda t)^{\kappa - 1} exp(- \lambda t)} {\Gamma(\lambda t, \kappa)}$
平均數	$\theta = exp(\mu + {\frac {\sigma^2} {2}})$	$\theta = \eta \Gamma (\frac {1} {\beta} + 1 )$	$\theta = {{1} \over {\lambda}}$	$\theta = \frac {\kappa} {\lambda}$
特徵數	$t_{0.63}$	$t_{0.63}$	$t_{0.63}$	$t_{0.50}$
機率密度函數圖
特性	形狀參數 σ 愈大、分布愈寬。 $\rho = \frac {\sigma_T} {\mu_T}$ ρ = 變異係數 σ ≈ 0.1，對數常態近似常態。隨機變數有乘法性（對數常態分布隨機變數的乘或除結果所得到的隨機變數也是對數常態分布）。	形狀參數 β 愈大、分佈愈窄。令 [tex]t'=t^{\beta}[/tex]，則 t' 為指數分布。 β = 1 時為指數分布。 β ≈ 4.0，韋伯近似常態。一般建議，當形狀參數遠大於 4.0 時 (β >> 4.0)，要特別注意資料的物理合理性。	尺度參數（表示失效率時）有加法性。	形狀參數 κ 愈大、分布愈寬。 κ ≈ 30，伽瑪近似常態。隨機變數有加法性（伽瑪分布隨機變數的相加結果所得到的隨機變數也是伽瑪分布）。
應用	物理科學零件單一失效模式半導體產品	工程技術組裝件實體失效模式（多重，最弱鏈環）機械產品電子元件	營運管理系統功能失效模式電子產品(設備)	驗證保證系統設備壽命試驗現場操作抽樣推論（推定與檢定）

公式 1：對數常態分布機率密度函數有下列兩種寫法

[tex] f(t) = \frac {1}{t \sigma \sqrt {2 \pi}} exp \left( -\frac{1}{2} \left(\frac {t - \mu}{\sigma} \right)^2 \right) [/tex]

或

[tex]f(t) = \frac {1}{t \sigma \sqrt{2\pi}} exp\left(-{{1} \over {2}} \left(\frac {ln(\frac {t} {t_{0.50}}) } {\sigma}\right)^2\right) [/tex]

公式 2：韋伯分布機率密度函數

[tex]f(t) = \frac {\beta} {\eta} \left(\frac {t} {\eta} \right)^{\beta - 1} exp \left( - \left(\frac {t} {\eta} \right)^ {\beta} \right) [/tex]

或

[tex]f(t) =\frac {\beta} {t_{0.63}} \left(\frac {t} {t_{0.63}} \right)^{\beta -1} exp \left(- \left(\frac {t} {t_{0.63}} \right)^{\beta} \right)[/tex]

公式 3：伽瑪分布機率密度函數

[tex]f(t) = \frac {\lambda} {\Gamma (\kappa)} (\lambda t)^{\kappa - 1} exp( - \lambda t) [/tex]

韋伯分布係因為研究機械產品失效發生時間或壽命而發展得到，從機率數學觀點，本身又是有界 (bounded) 極小值分布（剛柏 III 型極小值，Gumbel Type III Minimum）的特性，可用於解釋系統中最小鏈環、最弱環節 (weakest linkage) 的問題，加上數學式子簡潔，機率分布的尺度參數 η 代表特徵壽命、形狀參數 β 與失效機制的工程關聯意義合理，加上形狀參數 β < 1、β = 1、β > 1 可以說明物品生命週期早夭、有用、及磨耗三個階段的現象與特質，其應用空間極為寬廣，是描述可靠度進階的機率分布。

指數分布是韋伯分布的特例，當韋伯分佈的形狀參數 β = 1 時，韋伯分布變成指數分布。美軍可靠度試驗標準 MIL-STD-781，就是以指數分布作為軍用系統設備的壽命或失效時間分佈，主要是因為指數分佈簡單、易懂，且頗符合電子產品的失效時間或壽命的隨機發生特性（波桑過程）。

伽瑪分布是 κ 個指數分布隨機變數加總之後的新隨機變數的機率分布，伽瑪分布的隨機變數有加法性，當 κ=1，伽瑪分布變成指數分佈，指數分布為伽瑪分布的特例。伽瑪分布適合於描述壽命試驗累積失效時間的機率分布。

卡方分布為伽瑪分布經過適當的數學轉換處理後的機率分布，當伽瑪分布的形狀參數 κ 為整數時，可以利用以兩倍形狀參數 κ 為形狀參數（自由度）(ν = 2 κ) 的卡方分布。

一般在處理壽命或失效時間的統計分析問題，例如：判斷試驗數據是否有太大或太小的離群數、計算尺度參數失效率 λ 的區間推定值、或檢定樣本失效率與假設失效率真值是否相同，大多應用卡方分布處理，就是因為指數分布、伽瑪分布與卡方分布之間有密切關係的緣故。

伽瑪分布可以用下述兩種數學表達方式：

[tex]f(t) = \frac {\lambda} {\Gamma (\kappa)} (\lambda t)^{\kappa - 1} exp( - \lambda t) [/tex]

或者

[tex]f(t) = \frac {1} {\eta {\Gamma (\kappa)}} \left(\frac {t} {\eta} \right)^{\kappa-1} exp \left(- \frac {t} {\eta} \right)[/tex]

其中：

[tex]\eta = \frac {1} {\lambda} [/tex]。

重點是如何解釋與應用這兩種數學式子及所要描述或解釋的問題。當 t 為失效時間或壽命時，單位為小時 (hr)，第一種寫法的尺度參數 λ 為失效強度 (failure intensity)，單位為小時[sup]-1[/sup] (fr/hr)；第二種寫法的尺度參數 η 為特徵壽命，單位為小時 (hr)。失效強度表示造成物品失效的量化根源，特徵壽命則為表示 63.2 % 物品失效的時間點。

失效率是從底層、微觀、根源、工程技術的角度，描述、觀察、與處理物品的可靠度，屬於物品的內在或本質 (intrinsic) 特性；特徵壽命是從表面、宏觀、結果、驗證保證的角度，描述、觀察、及處理物品的可靠度。失效率與特徵壽命兩者之間有互為因果的關係，但是在應用上有其個別的目的與特色。

失效率可以根據樣本的壽命試驗結果，配合假設的機率理論推論出來的，因此又稱之為表觀失效率或視在失效率 (apparent failure rate)。視在失效率也是隨機變數，因此 2006 年 Telcordia 發佈 SR-332 《電子設備可靠度預估程序》時，就假設失效率為伽瑪分佈，每一種電子零件的失效率都提供平均值與標準差兩組數據。表面觀察資料雖然接近現實，但又受限於觀察樣本，追根究底就是想要瞭解事物的根源，發現原貌。只有瞭解或掌握根源，才能解決問題。

指數分布既是伽瑪分布的特例（伽瑪分布為 κ 個指數分布之和的分布，κ 為伽瑪分布的形狀參數），也是韋伯分布的特例（當韋伯分布的形狀參數 β =1 時），那麼韋伯分布與伽瑪分布有沒有關係，若有的話又是什麼關係？關鍵在於韋伯分布與伽瑪分布應用兩個數學的特性，也就是說 κ 與 β 這兩個形狀參數的物理意義，它們在可靠度領域時對可靠度的解釋有何幫助。

美國主導半導體裝置研發與製造的電子產業協會 (EIA)（後來獨立成為JEDEC），早期認定半導體的壽命分布為對數常態分布，最近則有建議採韋伯分布的趨勢（參閱 Section 5.19 Reliability Distributions, JEDEC JEP-122G, 2011）。電容器的壽命也假設符合韋伯分布，可靠度等級為 B 級、C 級、D 級等，與傳統假設為指數分佈的 L 級、M 級、S 級有所區別。

數學是一種工具，可靠度工程就是工程概念在探討物品可靠度的應用，只要符合定義與邏輯、簡單易懂，最能協助描述事物，就是最佳解答。

(備註：本文因2013年3月27日系統故障及操作不當產生亂碼，2013年6月22日已重新編輯。)