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標題: 韋伯分布與伽瑪分布在可靠度領域的物理意義 [打印本頁]

作者: hlperng    時間: 2019-2-19 09:33:00     標題: 韋伯分布與伽瑪分布在可靠度領域的物理意義

本帖最後由 hlperng 於 2022-8-1 09:42 編輯

韋伯分布描述產品壽命的工程整合、伽瑪分布描述產品壽命的統計整合。

可靠度與壽命領域常用的機率分布:對數常態分布、常態分布、韋伯分布、指數分布、伽瑪分布。因為這些分布都是通用伽瑪分布的特例。這些分布的變數,除常態分布之外,都是不為零的實數!數學的應用領域符合要解決問題的物品物理條件。
數學運算的加減乘除,處理與詮釋自變數與因變數的結構與因果關係,產品的構成方式:物質(化合)、物品(混合)、產品(組合),從現象學的觀點,壽命或失效發生時間適用的機率分布依次為對數常態分布(乘法性),常態分布(加法性),韋伯分布(幾何加法性),指數分布(指數加法性),伽瑪分布。
指數分佈,既是伽瑪分佈的特例,也是韋伯分佈的特例。那麼韋伯分佈與伽瑪分佈有沒有關係,若有的話又是什麼關係?關鍵在於韋伯分佈與伽瑪分佈應用兩個數學模型中參數的特性,當應用在可靠度領域時對可靠度物理意義的解釋有何幫助。

常用的韋伯分布有兩個參數:尺度參數和形狀參數,韋伯分布是固定下限邊界極小值分布 (type III minimum),所以常應用在描述壽命或失效發生時間。形狀參數一般以 β 表示,為無因次參數;尺度參數有 λ 和 η 兩種定義,η 的因次為時間 (time),λ 的因次為時間的倒數 (time[sup]-1[/sup]),因此韋伯分布的機率密度函數有兩種書寫方式:

[tex] f(t) = (\beta \lambda) (\lambda t)^{\beta -1} exp (- (\lambda t)^{\beta}) [/tex]

[tex]f(t) = \frac {\beta} {\eta} (\frac {t} {\eta})^{\beta - 1} exp ( - (\frac {t} {\eta} )^ {\beta} ) [/tex]  


因為當隨機變數 t 等於尺度參數 η 時,無論形狀參數 β 的數值是多少,相對應的機率都是 63.2 %,因此在壽命試驗與可靠度領域又稱尺度參數為特徵壽命 (characteristic life),η = t[sub]0.63[/sub],機率密度函數寫為:

[tex]f(t) =\frac {\beta} {t_{0.63}} (\frac {t} {t_{0.63}})^{\beta -1} exp(-(\frac {t} {t_{0.63}})^{\beta}[/tex]

韋伯形狀參數 (β) 決定分布的形狀,當形狀參數相同或類似時,期望值有幾何加法性。此一特性可以應用於解釋物品壽命或失效發生時間的機率特性:當材料特質 (尺度參數 η) 類似的物品組合在一起時,物品組合的尺度參數 (λ[sub]s[/sub]) 的 β 次方 (λ[sub]s[/sub][sup]β[/sup]) 為個別物品尺度參數 (λ[sub]i[/sub]) 的 β 次方 (λ[sub]i[/sub][sup]β[/sup]) 的加總關係如下:

[tex] {\lambda_s}^{\beta} = \sum_{i=1}^n {\lambda_i}^{\beta} [/tex]


若以 η 表示尺度參數,物品組合與個別物品的尺度參數之間的關係如下:

[tex] {\frac{1}{\eta_s}}^{\beta}= \sum_{i=1}^n {\frac{1}{\eta_i}}^{\beta} [/tex]


當尺度參數固定 (η = 1)、形狀參數 β 為 0.25、1.0、2.0、4.0 時,韋伯分布的機率密度函數如下圖所示:

[attach]2601[/attach]


當尺度參數固定 (η = 1)、形狀參數 β 為 0.25、1.0、2.0、4.0 時,韋伯分佈的失效率函數如下圖所示:

[attach]2602[/attach]

形狀參數 β 為大於零的實數,是無因次參數,決定機率分布的形狀,一般而言,β 介於 0.5 至 8 之間。不同形狀參數 β 數值的特性說明如下:

在可靠度工程領域,選擇韋伯分布適當的 β 值,可以符合包括初期失效期、偶發失效期及磨耗失效期等三個階段的全領域失效分布,同時也可以近似對數常態分布及常態分布,因此,韋伯分布適於描述很多的可靠度數據。

各種物品失效時間的韋伯分布形狀參數如表所示。

表:各種物品韋伯失效分布之形狀參數


物品名稱

β 值

物品名稱

β 值

物品名稱

β 值

電晶體0.2 – 1.2離合器軸承0.92油壓汽缸1.8
電阻器0.3 – 0.7空調裝置1.0開關2.3 – 2.5
電容器0.3 – 0.9煞車設備1.0 – 1.3微開關2.6
積體電路0.3 – 0.9自卸卡車1.0 – 1.7燈泡2.7 – 3.0
電視0.65 – 0.75電子管1.0 – 2.8馬達軸承3.0
汽車用點火線圈0.75墊圈1.2 – 1.5馬達3.0
升降機0.8 – 1.0標示燈1.2 – 2.3彈簧3.1
煉油裝備0.84 – 1.18冰箱1.3 – 1.7油壓幫浦4.2
計算機0.85 – 1.1閘踏板1.46

從韋伯機率密度函數圖可看出,不同產品壽命分佈的特質。



伽瑪分布的機率密度函數為:

[tex] f(t) = \frac{\lambda}{\Gamma(\kappa)} (\lambda t)^{\kappa-1} exp (-\lambda t), t > 0 [/tex]

伽瑪分布有兩個參數:尺度參數和形狀參數,尺度參數一般寫為 λ 、形狀參數寫為 κ。

伽瑪分布為指數分布隨機變數之和的機率分布,伽瑪分布具有加法性,亦即若兩個獨立隨機變數,符合形狀參數不同分別為 κ1 及 κ2,而形狀參數相同為 λ 的伽瑪分布,則這兩個隨機變數之和為形狀參數為 (κ1+κ2),尺度參數為 λ 的伽瑪分佈。
當 n 個獨立隨機變數都是符合尺度參數為 λ、形狀參數為 κ 的伽瑪分佈,其和也是隨機變數,可以使用尺度參數為 λ 、形狀參數為 nκ 的伽瑪分佈加以描述。

由於具備加法特性,伽瑪分布常應用於壽命試驗的壽命或失效發生時間的統計推論議題。試驗總時間 (T) 為 r 個失效發生時間 (t) 的總和:

[tex] T = \sum_{i=1}^r t_i [/tex]

若 t 為指數分布,則 T 為伽瑪分布!也就是說指數分布(或是波桑分布)的抽樣分布為伽瑪分布。















作者: xxex    時間: 2019-3-28 09:25:08

好久没有上论坛,一上来就看到了彭大师神贴,学习了
作者: think1030    時間: 2021-10-19 10:22:29

請問有人知道"表:各種物品韋伯失效分布之形狀參數" 是出自哪本書。







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